Question

如图1，在中，，，，于点D，将绕点B顺时针旋转得到

如图2，当时，求点C、E之间的距离；

在旋转过程中，当点A、E、F三点共线时，求AF的长；

连结AF，记AF的中点为P，请直接写出线段CP长度的最小值．

Answer

（1）CE＝；（2）AF的长为+或﹣；（3）CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．

【解析】

（1）只要证明∠CBE＝90°，求出BE，BC利用勾股定理即可解决问题．

（2）分两种情形画出图形分别求解即可．

（3）如图3中，取AB的中点O，连接OP，CO．利用三角形的中位线定理可得OP＝ ，推出点P的运动轨迹是以O为圆心 为半径的圆，由此即可解决问题．

【解析】
（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，

∴AB＝2AC＝4，BC＝ ＝2，

∵CD⊥AB，

∴ •AB•CD＝ •AC•BC，

∴CD＝ ＝ ＝ ，

∴BD＝BE＝ ＝3，

∵∠ABE＝α＝60°，

∴∠CBE＝30°+60°＝90°，

∴CE＝ ＝ ＝．

（2）如图2﹣1中，

∵A，F，E三点共线，

∴∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝ ，

∴AF＝AE﹣EF＝﹣ ．

如图2﹣2中，

当A，E，F共线时，∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝，

∴AF＝AE+EF＝+．

综上所述，AF的长为+或﹣．

（3）如图3中，取AB的中点O，连接OP，CO．

∵AO＝OB，AP＝PF，

∴OP＝ BF＝BC＝，

∴点P的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆，

∵OC＝ AB＝2，

∴CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．

故答案为：（1）CE＝ ；（2）AF的长为+或﹣；（3）CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．