Question

如图1，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，C，D为⊙O上两点，连结OP，CD，PD＝PC．已知AB＝8．

（1）若OP＝5，PD＝3，求证：PD是⊙O的切线；

（2）若PD、PC是⊙O的切线；

①求证：OP⊥CD；

②连结AD，BC，如图2，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，求弧CD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）①证明解析；②弧CD的长为．

【解析】

1）利用勾股定理的逆定理证明∠DOP＝90°即可．

（2）①如图1中，连接OC．由切线长定理可知PD＝PC，因为OD＝OC，所以OP垂直平分线段CD，由此即可解决问题．

②求出圆心角∠DOC的度数即可解决问题．

（1）证明：∵直径AB＝8，

∴OD＝4，

∵OP＝5，PD＝3，

∴OP2＝PD2+OD2，

∴∠ODP＝90°，

∴OD⊥DP，

∴PD是⊙O的切线．

（2）①证明：如图1中，连接OC．

∵PD，PC是⊙O的切线，

∴PD＝PC，

∵OD＝OC，

∴OP垂直平分线段CD，

∴OP⊥CD．

②【解析】
如图2中，连接OD，OC．

∵OA＝OD，OB＝OC，

∴∠A＝∠ODA＝50°，∠B＝∠OCB＝70°，

∴∠AOD＝180°﹣100°＝80°，∠BOC＝180°﹣140°＝40°，

∴∠DOC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，

∴弧CD的长＝ ＝ ．

故答案为：（1）证明见解析；（2）①证明解析；②弧CD的长为．