Question

某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：

产品	每件售价（万元）	每件成本（万元）	每年其他费用（万元）	每年最大产销量（件）
甲	6	a	20	200
乙	20	10	40＋0.05x^2	80

其中a为常数，且3≤a≤5．

（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y₁万元、y₂万元，直接写出y₁、y₂与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

Answer

（1）y1=（6-a）x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为（1180-200a）万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品.

【解析】

试题（1）根据表格的数据，直接写出解析式即可；（2）根据一次函数和二次函数的性质，求得最大值即可；（3）根据（2）的结果，分三种情况解答即可.

试题解析：（1） y1=（6-a）x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；

（2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随x的增大而增大．

∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5）

乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）

∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．

当x＝80时，y2max＝440（万元）．

∴产销甲种产品的最大年利润为（1180-200a）万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；

（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品；

1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；

1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品．

∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高；

当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；

当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．