Question

如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，点D是AC的中点，连接BD，作AE⊥BC于E，交BD于点F，点G是BC的中点，连接FG，过点B作BH⊥AB交FG的延长线于H．

（1）若AB=3，求AF的长；

（2）求证；BH+2CE=AB．

Answer

(1);(2)见解析.

【解析】

（1）由条件得△ABE是等腰直角三角形，AE=3，可证△AEC≌△BEF，有EF=CE，根据等腰三角形的性质可知BD是AC的中垂线，连结CF，则AF=CF，设AF=x，EF=3-x，在Rt△EFC中，（3-x）2+（3-x）2=x2，解此方程即可；

（2）可先证△BGH≌△CGF，可得BH=CF=AF，由AE=BE=AF+EF，BE+CE=BC=AB，即可得证．

（1）连结CF，

∵AE⊥BC，∠ABC=45°，

∴AE=BE，AE=AB•sin45°=，

∵AB=BC，点D是AC的中点，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴AF=CF，∠CAE=∠DBC，

在△AEC和△BEF中，，

∴△AEC≌△BEF （AAS），

∴CE=EF，

设AF=x，EF=3-x，在Rt△EFC中，CE2+EF2=CF2，

∴（3-x）2+（3-x）2=x2，解得，x=，

（2）证明：∵BH⊥AB，∠ABC=45°，

∴∠HBG=45°，

由（1）知∠FCE=45°，

∴∠FCE=∠HBG，

∵点G是BC的中点，

∴BG=CG，

在△BGH和△CGF中，，

∴△BGH≌△CGF（ASA），

∴BH=CF，

∴AB=BE+CE=AE+CE=AF+EF+CE，

∴AB=BH+CE+CE=BH+2CE．