Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x-与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=3AO，过点A作BC的平行线l．

（1）求直线BC的解析式；

（2）作点A关于BC的对称点D，一动点P从C点出发按某一路径运动到直线l上的点M，再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N，再沿某一路径运动到D点，求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标；

（3）如图2，将△AOB绕点B旋转，使得A′O′⊥BC，得到△A′O′B，将△A′O′B沿直线BC平移得到△A″O″B′，连接A″、B″、C，是否存在点A″，使得△A″B′C为等腰三角形？若存在，请直接写出点A″的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) y=x-;(2) 2, N（，-）;(3)见解析.

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图2中，作点C关于直线AF的对称点C′，连接CC′交AF于点F，连接DF交BC于N，作NE⊥AF于E，连接EC，则此时CE+EN+DN的值最小，最小值=线段DF的长；

（3）分四种情形分别画出图形求解即可．

（1）∵直线y=-x-与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（-1，0），B（0，-），

∵OC=3OA，

∴OC=3，

∴C（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x-；

（2）如图2中，作点C关于直线AF的对称点C′，连接CC′交AF于点F，连接DF交BC于N，作NE⊥AF于E，连接EC，则此时CE+EN+DN的值最小，最小值=线段DF的长．

由题意D（1，-2），

∵直线CF的解析式为y=x+，直线CF的解析式为y=-x+3，

由，解得，

∴F（2，），

∴DF==2，

∴点P的路径的最小值为2，

∵直线DF的解析式为y=3x-5，

由，解得，

∴N（，-）；

（3）由题意，BO′=BO=，AB=BA′=2，OA=O′A′=1，点O′向下平移个单位，向右平移单位得到A′，

①如图3中，当CB′=B′A″=2时，此时O″（，-），可得A″（2-，-1-）．

②如图4中，当CB′=CA″时，设CB′=CA″=x，则有x2=12+（-x）2，

可得x=，此时O″（，-），可得A″（3，-）．

③当B′C=B′A″=2时，O″（，），可得A″（2+，1-）

④当CA″=B′A″=2时，O″（，），可得A″（5，0）．

综上所述，满足条件的点A″的坐标为（2-，-1-）或（3，-）或（2+，1-）或（5，0）．