Question

若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“至善数”，如34的“至善数”为354；若将一个两位正整数M加5后得到一个新数，我们称这个新数为M的“明德数”，如34的“明德数”为39．

（1）26的“至善数”是　   　，“明德数”是　   　．

（2）求证：对任意一个两位正整数A，其“至善数”与“明德数”之差能被45整除；

（3）若一个两位正整数B的“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半，求B的值．

Answer

（1）256，31；（2）见解析；（3）49，58，67，76或85.

【解析】

（1）按照定义求解即可；

（2）设A的十位数字是a，个位数字是b，表示出至善数和明德数，作差可证明；

（3）分明德数各位数字与5的和大于10和小于10两种可能来考虑，根据“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半列式求解．

【解析】
（1）26的至善数是中间加5，故为256，明德数是加5，故为31，

故答案为：256，31；

（2）设A的十位数字是a，个位数字是b，则它的至善数是100a+50+b，明德数是10a+b+5，

∵100a+50+b﹣（10a+b+5）

＝90a+45

＝45（2a+1）

∴“至善数”与“明德数”之差能被45整除；

（3）设B的十位数字是a，个位数字是b，则它的至善数位数字之和是a+5+b，明德数位数字之和是a+b+5或a+1+（5+b﹣10）＝a+b﹣4，

当a+5+b＝2（a+b+5）时，b＜5，

a+b＝﹣5，

不符合题意；

当a+5+b＝2（a+b﹣4）时，b≥5，

a+b＝13，

所以a＝4，b＝9或a＝5，b＝8或a＝6，b＝7，或a＝7，b＝6或a＝8，b＝5，

∴B是49，58，67，76或85.

故答案为：（1）256，31；（2）见解析；（3）49，58，67，76或85.