Question

如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD．

（1）求证：CD²＝AC•EC；

（2）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）若AE＝EC，求tanB的值．

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】

（1）根据相似三角形的判定证明△CDE∽△CAD，再根据相似三角形的性质定理即可证明；

（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用等量代换得到∠B=∠CAD，进而得到∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°，即可得证；

（3）根据（1）与题意得到CD=CE，利用相似三角形的性质与等量代换可得tanB=tan∠CAD=．

（1）证明：∵∠CDE=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CD2=CA•CE；
（2）AC与⊙O相切，
证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠ODB=∠CDE，∠CDE=∠CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC与⊙O相切；
（3）【解析】
∵AE=EC，
∴CD2=CA•CE=（AE+CE）•CE=2CE2，
∴CD=CE，
∵△CDE∽△CAD，
∴，
∵∠ADE=180°-∠ADB=90°，∠B=∠CAD，
∴tanB=tan∠CAD=．