Question

已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．

（1）求证：OF⊥CE；

（2）求证：EF是⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求CD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，
（2）得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．
（3）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．

（1）如图，连接CE，

∵是的直径，∴，

∵，∴．

（2）∵OF⊥CE，

∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，

∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠OCE，

∵，即，

∴，即，

∴FE为的切线．

（3）如图，∵⊙O的半径为3，

∴AO=CO=EO=3，

∵，，∴，

∴，

∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴，

∵在中，，

，，

∴