Question

已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE等于多少；

（1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由；

（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：

①请在图3中画出图形；

②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明．

Answer

OD+OE＝8；（1）上述结论成立，理由见解析；（2）①补全图形如图3，见解析；②上述结论不成立，OE﹣OD＝8，理由见解析.

【解析】

先利用勾股定理求出OD，再利用角平分线定理得出DE=CD，即可得出结论；
（1）先判断出∠DCQ=∠ECP，进而判断出△CQD≌△CPE，得出DQ=PE，即可得出结论；
（2）①依题意即可补全图形；②同（1）的方法即可得出结论．

∵CD⊥OA，

∴∠ODC＝90°，

在Rt△ODC中，CD＝3，OC＝5，

∴OD＝＝4，

∵点C是∠AOB的平分线上的点，

∴DE＝CD＝3，

同理，OE＝4，

∴OD+OE＝4+4＝8，

故答案为8；

（1）上述结论成立，理由：如图2，过点C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，

∴∠OQC＝∠EPC＝90°，

∴∠AOB+∠POQ＝180°，

由旋转知，∠AOB+∠DOE＝180°，

∴∠POQ＝∠DOE，

∴∠DCQ＝∠ECP，

∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，

∴CQ＝CP，

∵∠OQC＝∠EPC＝90°，

∴△CQD≌△CPE（ASA），

∴DQ＝PE，

∵OD＝OQ﹣DQ，OE＝OP+PE，

∴OD+OE＝OQ﹣DQ+OP+PE＝OQ+OP＝8；

（2）①补全图形如图3

②上述结论不成立，OE﹣OD＝8，

理由：过点C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，

∴∠OQC＝∠EPC＝90°，

∴∠AOB+∠POQ＝180°，

由旋转知，∠AOB+∠DOE＝180°，

∴∠POQ＝∠DOE，

∴∠DCQ＝∠ECP，

∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，

∴CQ＝CP，

∵∠OQC＝∠EPC＝90°，

∴△CQD≌△CPE（ASA），

∴DQ＝PE，

∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，

∴OE﹣OD＝OP+PE﹣（DQ﹣OQ）＝OP+PE﹣DQ+OQ＝OP+OQ＝8．