Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD、CD．

（1）求证：AD＝CD；

（2）①画图：在AC边上找一点H，使得BH+EH最小（要求：写出作图过程并画出图形，不用说明作图依据）；

②当BC＝2时，求出BH+EH的最小值．

Answer

（1）证明见解析；（2）①画图见解析；②EH+HB的最小值＝2.

【解析】

（1）证明△ABC≌△ABD（SAS），可得AC=AD．
（2）①作点B关于直线AC的对称点B′，连接EB′交AC于H，点H即为所求；②连接AB′，证明△ABB′是等边三角形即可解决问题．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC，∠ABC＝60°

∵AE＝EB，

∴BC＝BE，

∵△BED是等边三角形，

∴BE＝BD，∠ABD＝60°，

∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD＝60°，BC＝BD，

∴△ABC≌△ABD（SAS），

∴AC＝AD．

（2）①作点B关于直线AC的对称点B′，连接EB′交AC于H，点H即为所求．

②连接AB′，

∵AC⊥BB′，CB＝CB′，

∴AB＝AB′，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∵AE＝EB，

∴B′E⊥AB，

在Rt△BEB′中，∵BB′＝4，∠EBB′＝60°，

∴EB′＝BB′•sin60°＝2，

∴EH+HB的最小值＝EH+HB′＝EB′＝2