Question

如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC 轴于点C，交抛物线于点D．

（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．

①求点M、N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）① ②答案见解析 （2）存在，或

【解析】

（1）①如图1，把抛物线解析式配成顶点式可得到顶点为的坐标为，，然后计算自变量为对应的一次函数值可得到点坐标；

②易得，设点坐标为，则，则，由于，根据平行四边形的判定方法，当时，四边形为平行四边形，即，求出得到此时点坐标为，，接着计算出，然后比较与的大小关系可判断平行四边形是否为菱形；

（2）如图2，利用勾股定理计算出，再表示出，则可计算出，接着表示出抛物线解析式为，则可用表示出点坐标为，所以，由于，根据相似三角形的判定方法，当时，，即；当时，，即，然后利用比例性质分别求出的值，从而得到对应的抛物线的解析式．

（1）①如图1，

，

顶点为的坐标为，，

当时，，则点坐标为，；

②不存在．

理由如下：

，

设点坐标为，则，

，

，

当时，四边形为平行四边形，即，解得（舍去），，此时点坐标为，，

，

，

平行四边形不为菱形，

不存在点，使四边形为菱形；

（2）存在．

如图2，，，则，

当时，，则，

，

设抛物线的解析式为，

把代入得，解得，

抛物线的解析式为，

当时，，则，

，

，

，

当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；

当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；

综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或．