Question

如图，在中，，，，点P是射线BA上的一个动点，以BP为半径的交射线BC于点D，直线PD交直线AC于点E，点P关于直线AC的对称点为点，连结，，设直线与直线BC交于点F．

当点P在线段BA上时，

求证：；

连结，当时，求的长；

连结AD，AF，当恰为等边三角形时，求此时四边形的面积；

当四边形在内部时，请直接写出BP的取值范围．

Answer

证明见解析；②．（2）①．②．（3）．

【解析】

欲证明，利用等角的余角相等证明即可；如图2中，作于H，连接交AC于点设，则易知，根据，可得，推出，由，可得，由此即可解决问题；

分两种情形分别求解即可：如图3中，当点D在BC上时如图4中，当点D在BC的延长线上时，分别求解即可；

如图4中，当点在上时，设则，构建方程求出m的值即可解决问题.

证明：如图1中，

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，，

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，

，

．

如图2中，作于H，连接交AC于点设，则．

在中，，，，

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，，

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四边形是菱形，

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，，

，

，

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，

，

，

，

，

，

．

如图3中，当点D在BC上时，连接AD，AF，作于H，连接交AC于点J．

是等边三角形，，，

，

，，

，

四边形PJCH是矩形，

，

，

．

如图4中，当点D在BC的延长线上时，连接AD，AF，当是等边三角形时，作于H，连接交AC于点J．

同法可得：，，

．

如图4中，当点在上时，设则

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，

，

，

，

观察图象可知：当四边形在内部时，BP的取值范围为．