Question

如图1，等腰中，，为中点，连接，

（1）求证：是等边三角形

（2）如图2，在内有一点，连接、、，若，求的度数

（3）如图3，在（2）的条件下，在外有一点，连接、、若，，，求线段的长.

       

Answer

（1）证明见解析，（2）150°；（3）6.

【解析】

(1)构造△CDE≌△BDA，可得∠E=∠CAD=∠BAD， AC=EC，故AB=EC=AC=BC，即可解答.

（2）以AD为边作等边△ADE，连接EC，易证△ABD≌ACE，EC=BD，由已知可得Rt△EDC，从而∠ADC=60°+90°=150°；

（3）作2倍角的平分线构造全等三角形，Rt△AGC≌Rt△AHC≌Rt△AHF；由∠ADC=150°可得∠CDG=30°，可知CG=CH=HF=CD，从而得到△CEF为等腰三角形，由△CFE∽△ACF可得，即可计算AF长，由AF=AC=AB即可解答.

（1）证明：延长AD到E，使DE=AD，

在△CDE和△ABD中

∴△CDE≌△BDA（SAS）

∴∠E=∠BAD，AB=CE，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠C，

又∵，∠BAC=∠BAD+CAD，

∴∠E=∠CAD，

∴AC=CE，

∴AC=AB=BC，即是等边三角形

（2）以AD为边作等边△ADE，连接EC，

∵∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△AEC中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴EC=BD，

在等边三角形ADE中，AD=DE，∠ADE=60°，

∵，

∴，

∴∠EDC=90°，

∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+90°=150°

（3）作∠CAE平分线AH，过C点作CG⊥AD交AD延长线于G点，作CH⊥AH交AH于H点，交AE延长线与F点，

由（2）得，∠ADC=150°，

∴∠CDG=30°，

∴CG=CD，

∵∠CAE=2∠CAD，

∴∠CAG=∠CAH，

又∵CG⊥AD, CH⊥AH，易证△AGC≌△AHC≌△AHF；

∴GC=HC=HF，∠ACF=∠F，AB=AF，

∵CD=CE，CF=2CG=CD，

∴CE=CF，

∴∠CEF=∠EFC，

又∵∠F=∠F，

∴△CFE∽△ACF

∴，

∵AE=4，CE=CF=2，AF=4+EF

∴EF=2，

∴AB=AC=AF=4+2=6