Question

在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，过点B作BE垂直于CA的延长线于点E，BE与DA的延长线相交于点F．

（1）如图1，若AB平分∠CBE，∠ADB＝30°，AE＝3，AC＝7，求CD的长；

（2）如图2，若AB＝AC，∠ADB＝45°，求证；BC＝DF．

Answer

（1）CD＝2﹣3；（2）见解析．

【解析】

（1）作AH⊥BC于H．解直角三角形求出DH，CH即可解决问题．

（2）作FM⊥BC于M．AN⊥BC于N，设AE交FM于点O．证明△FMD是等腰直角三角形，△FMB≌△BNA（AAS）即可解决问题．

【解析】
（1）作AH⊥BC于H．

∵AB平分∠EBC，AE⊥BF，AH⊥BC，

∴AE＝AH＝3，

在Rt△AHD中，∵∠ADH＝30°，

∴AD＝2AH＝6，DH＝＝3，

在Rt△ACH中，CH＝＝2，

∴CD＝CH﹣DH＝2﹣3．

（2）如图，作FM⊥BC于M．AN⊥BC于N，设AE交FM于点O．

∵CE⊥BF，FM⊥BC，

∴∠OEF＝∠OMC，∵∠EOF＝∠MOC，

∴∠OFE＝∠C，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC，

∴∠OFE＝∠B，

∵∠FDM＝∠MFD＝45°，

∴FM＝DM，DF＝FM，

∵∠BFA＝45°+∠BFM，∠BAF＝∠ABC+∠ADB＝45°+∠ABD，

∴∠BFA＝∠BAF，

∴BF＝BA，

∵∠BFA＝∠ABN，BF＝BA，∠FMB＝∠ANB＝90°，

∴△FMB≌△BNA（AAS），

∴FM＝BN，

∴BC＝2BN＝2FM＝DF．