Question

如图①，已知抛物线y＝﹣x²+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为Q，连接BC．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值；

（3）如图②，直线AQ交y轴于G，取线段BC的中点K，连接OK，将△GOK沿直线AQ平移得△G′O'K′，将抛物线y＝﹣x²+x+2沿直线AQ平移，记平移后的抛物线为y′，当抛物线y′经过点Q时，记顶点为Q′，是否存在以G'、K'、Q'为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点G′的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣．（2）；（3）点G′坐标为（）或（3，5）或（5，）或（4，）或（，）．

【解析】

（1）利用待定系数法求出B，C两点坐标即可解决问题．

（2）因为∠DPM是定值，推出当PM的值最大时，PD的值最大，构建二次函数求出PD最大时，点P坐标，在y轴上取一点G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，因为PM+BM＝PM+ME，把问题转化为：当P．M，E共线，且PE⊥BG时，PM+PE的值最小，由此求出点E坐标即可解决问题．

（3）分三种情形构建方程即可解决问题．

【解析】
（1）令y＝0，﹣ x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝0，y＝2，

∴C（0，2），

设直线BC是解析式为y＝kx+b，则有，解得，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．

（2）如图1中，作PM∥y轴交BC于M．

∵∠DPM是定值，

∴当PM的值最大时，PD的值最大，设P（m，﹣ m2+m+2），则M（m，﹣m+2），

∴PM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∵﹣＜0，

∴m＝2时，PM的值有最大值，即PD的值最大，此时P（2，3）．

在y轴上取一点G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，

∵sin∠GBK＝＝，设GK＝k，BG＝3k，则BK＝2k，

∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°，

∴△CKG∽△COB，

∴，

∴，

∴CK＝k，CG＝k，

∵CK+BK＝BC，

∴k+2k＝2，

∴k＝，

∴OG＝OC﹣CG＝，

∴G（0，），

∴直线BG的解析式为y＝﹣x+，

∵PM+BM＝PM+ME，

∴当P．M，E共线，且PE⊥BG时，PM+PE的值最小，

∵PE⊥BG，

∴直线PE的解析式为y＝y＝x﹣2，

由，解得，

∴E（），

∴PE＝，

∴PM+BM的最小值为．

（3）如图3中，存在．

由题意A（﹣1，0），Q（，），Q′（4，），C（0，2），K（2, ），

∴直线AQ的解析式为y＝x+，

∴G（0，），

设G′（a， a+），则K′（a+2， a+），

当Q′G′＝Q′K′时，（a﹣4）2+（a﹣5）2＝（a﹣2）2+（a﹣）2，

解得a＝．

此时G（）.

当Q′G′＝G′K′时，（a﹣4）2+（a﹣5）2＝22+（）2，

整理得：a2﹣8a+15＝0，

解得a＝3和5，

此时G′（（3，5）或（5，），

当Q′K′＝G′K′时，（a﹣2）2+（a﹣）2＝22+（）2，

整理得：3a2﹣8a+15＝0，

解得a＝4和，

此时G′（4，）或（，），

综上所述，满足条件的点G′坐标为（）或（3，5）或（5，）或（4，）或（，）．