Question

定义正整数m，n的运算，m△n＝

例2△3＝，3△4＝

（1）3△2的值为     运算符号“△”满足交换律吗？回答     （填“是”或者“否”）

（2）探究：计算2△10＝的值．

为解决上面的问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断的分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形结合起来，最终解决问题．

如图所示，第1次分割把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为，第2次，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影分的面积之和为，第3次分割把上次分割图中空白部分的面积继续二等分……以此类推……第10次分割，把第9次分割后的图中的空日部分的面积最后二等分，所有阴影部分面积之和为．

根据第10次分割图可以得出计结果：＝1﹣，进一步分析可得出＝1﹣，

（3）已知n是正整数，计算3×（4△n）＝的结果．

按指定方法解决问题请仿照以上做法，只需画出第n次分割图并作标注，写出最终结果的推理步骤，或借用以上结论进行推理，写出必要的步骤．

Answer

（1），否（2）1- （3）见解析

【解析】

（1）根据新定义运算法则进行计算即可；重点是理解新定义是如何运算的
（2）根据计算2△10=…+ 的值的计算过程得到规律解题；
（3）根据探究的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可．

（1）3△2＝，而2△3＝，则3△2≠2△3，

所以运算“△”不满足交换规律

故答案是：；否；

（2）如图所示，第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积这和为；

第3次分割，把上次图中空白部分的面积继续二等分，…依此类推，…

第10次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积为；

根据第10次分割图可以得出计算结果为；

进一步分析可得出：果为；

故答案是：1﹣．

（3）第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积为；

第3次分害，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积……，

第n次分害，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积

，最后的空白部分的面积是；

根据第n次公害图可得等式：.

两边同除以3，得：.