Question

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

（1）该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN²＝CD²+CN²，在图③中（三角板一边与OC重合），CN²＝BN²+CD²，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．

（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）CM2+CN2＝DM2+BN2,理由详见解析.

【解析】

（1）图①连接DN，根据矩形的性质与垂直平分线的性质可得BN=DN，在Rt△CDN中，利用勾股定理即可得证；连接AN，同理也可证图③；

（2）延长MO交AB于E，连接NE、NM．通过“角边角”证明△BEO≌△DMO（ASA）， 得OE＝OM，BE＝DM，根据垂直平分线的性质可得NE＝NM，然后在Rt△BNE与Rt△CNM中，利用勾股定理与等量代换即可得CM2+CN2＝DM2+BN2.

【解析】
（1）选择图①证明：连接DN，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BO＝DO，∠DCN＝90°，

∵ON⊥BD，

∴NB＝ND，

∵∠DCN＝90°，

∴ND2＝NC2+CD2，

∴BN2＝NC2+CD2；

（2）CM2+CN2＝DM2+BN2．理由如下：

如图②，延长MO交AB于E，连接NE、NM．

∵四边形ABCD是矩形，

∴BO＝DO，∠ABC＝∠DCB＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠ABO＝∠CDO，∠BEO＝∠DMO，

∴△BEO≌△DMO（ASA），

∴OE＝OM，BE＝DM，

∵NO⊥EM，

∴NE＝NM，

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴NE2＝BE2+BN2，NM2＝CN2+CM2，

∴CN2+CM2＝BE2+BN2，

即CN2+CM2＝DM2+BN2．