Question

如图，在△ABC中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB=90⁰+ ∠C；②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F分别是AC，BC的中点；④若OD=a，CE+CF=2b，则S_△CEF=ab．其中正确的是（   ）

A. ①②    B. ①②③    C. ①②④    D. ①③④

Answer

C

【解析】

根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④．

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB，∴∠AOB=180°﹣∠OBA﹣∠OAB=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=180°﹣（180°﹣∠C）=90°+∠C，①正确；

∵EF∥AB，∴∠FOB=∠ABO，又∠ABO=∠FBO，∴∠FOB=∠FBO，∴FO=FB，同理EO=EA，∴AE+BF=EF，②正确；

当∠C=90°时，AE+BF=EF＜CF+CE，∴E，F分别是AC，BC的中点是错误的，③错误；

作OH⊥AC于H．

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OD=OH，∴S△CEF=×CF×OD×CE×OH=ab，④正确．

故选C．