Question

如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：

①△DEF是等腰直角三角形；

②AE＝CF；

③△BDE≌△ADF；

④BE+CF＝EF；

⑤S_{四边形AEDF}＝AD²，

其中正确结论是_____（填序号）

Answer

①②③

【解析】

先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形AEDF＝S△ADC＝AD2，从而判定⑤的正误．

【解析】
∵Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，

∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，

∵∠MDN＝90°，

∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF．

在△AED与△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE＝CF，ED＝FD．故①②正确；

又∵△ABD≌△ACD，

∴△BDE≌△ADF．故③正确；

∵△AED≌△CFD，

∴AE＝CF，ED＝FD，

∴BE+CF＝BE+AE＝AB＝BD，

∵EF＝ED，BD＞ED，

∴BE+CF＞EF．故④错误；

∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，

∴S四边形AEDF＝S△ADC＝AD2．故⑤错误．

综上所述，正确结论是①②③．

故答案是：①②③．