Question

如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD＝CD，且AE＝BE．

（1）求线段AO的长；

（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）AO＝BC＝5；（2）①S＝﹣2t2+t（0＜t＜）；②S＝2t2﹣t（＜t≤5）；（3）存在；t＝1或s．

【解析】

（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；

（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t，②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2时；

（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP＝CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当OP＝CQ时，△BOP≌△FCQ.

【解析】
（1）如图1中，

∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∵BE是高，

∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∴∠EAO+∠ACD＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，

∴∠EAO＝∠EBC，

在△AOE和△BCE中，

，

∴△AOE≌△BCE，

∴AO＝BC＝5．

（2）∵BD＝CD，BC＝5，

∴BD＝2，CD＝3，

由题意OP＝t，BQ＝4t，

①当点Q在线段BD上时，QD＝2﹣4t，

∴S＝•t（2﹣4t）＝﹣2t2+t（0＜t＜）．

②当点Q在射线DC上时，DQ＝4t﹣2，

∴S＝•t（4t﹣2）＝2t2﹣t（＜t≤5）．

（3）存在．

①如图2中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ＝OP，

∴5﹣4t═t，

解得t＝1，

②如图3中，当OP＝CQ时，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，

∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ＝OP，

∴4t﹣5＝t，

解得t＝．

综上所述，t＝1或s时，△BOP与△FCQ全等．