Question

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；

(3)在(2)的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)BD2+FC2=DF2，理由见解析；（3）.

【解析】

（1）根据垂直的定义以及直角，得到∠BAD=∠CAE，然后SAS证明即可；

（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，然后由（1）的结论得到∠ACE=45°，BD=CE，从而得到∠FCE=90°，根据勾股定理得出，再根据SAS证明△DAF≌△EAF，根据全等三角形的性质得到DF=FE，从而得到结论；

（3）过点A作于G，根据（2）的结论得到DF=5，然后根据等腰直角三角形的性质求出DG，最后根据勾股定理求解即可.

(1)∵

∴

又∵

∴

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE；

（2）理由如下：

连接FE， ∵

∴

由(1)知△ABD≌△ACE

∴，

∴

∴

∴

∵AF平分

∴

在△DAF和△EAF中

∴△DAF≌△EAF

∴.

∴；

（3）过点A作于G

由(2)知

∴

∴

∵

∴

∴

∴在中.