Question

如图，在线段上有一点，在的同侧作等腰和等腰，且，，，直线与线段，线段分别交于点，对于下列结论：①∽；②∽；③；④若，则．其中正确的是（    ）

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②

Answer

A

【解析】

(1)通过证明∽，可判断①；（2）由①∽，得，再证明∠ACE=∠DCB,即可证明②；（3）证明∽，来判定③；（4）通过证明△BDC∽△EAC，△EFB∽△EBA, △EFC∽△ECA, △DFC∽△DCG,来对④进行判断.

【解析】
∵，，，

∴∠ACD= ，∠ECB =∠EBC=，∠ACD=∠EBC.

∴DC∥EB

∴∽，故①正确；

∵∽，∴

∵由①得∠ACD=∠ECB，∴∠ACD+∠DCE =∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB,

∴∽，故②正确；

∵∽，∴∠CBD=∠FEG，又∵∠FGE=∠CGB，∴∽，

∴ ， ∴ ，故③正确；

∵∠DAC=∠CEB=90°,AC=AD, BE=CE,

∴△ADC和△BCE是等腰直角三角形，

∴CD=AC=AD，CB=CE, ∠1=∠2=45°，∠DCE=90°，∠ACE=∠DCB=180°-45°=135°，

∴CD:CA=CB:CE=,

∴△BDC∽△EAC

∴∠3=∠4，∠5=∠6，

又∵∠6+∠7=45°，∴∠5+∠7=45°，

又∵∠8=90°,

∴在△EFB中，∠EFB=180°-∠8-（∠5+∠7）=45°，

在△EFB和△BEA中，

∵∠1=∠2=45°，∴∠DCE=90°=∠CEB,

∴DC∥EB，∴∠7=∠3=∠4，∠FEB=∠BEF,

∴△EFB∽△EBA,

∴EB:EF=AE:EB,

又∵∠5=∠5

∴△EFC∽△ECA,

∴∠EFC=∠ECA=180°-∠2=135°,

∴∠BFC=∠EFC-∠EFB=135°-45°=90°.

∴∠DFC=180°-∠CFB=90°=∠DCG

又∵∠3=∠3

∴△DFC∽△DCG,

∴DC:DF=DG:DC,即DC2=DF×DG

又∵CD=AD

∴（AD）2=DF×DG，即2AD2=DF·DG.故④正确.

故选：A.