Question

元旦前夕，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小丁第天生产的粽子数量为只，与满足如下关系：

（1）小丁第几天生产的粽子数量为280只？

（2）如图，设第天生产的每只粽子的成本是元，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若小丁第天创造的利润为元，求与之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）

Answer

（1）小丁第10天生产的粽子数量为280只;（2）见解析；

【解析】

（1）把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据总利润等于单个利润乘以生产数量，然后整理得到在不同的x取值范围内W与x的关系式，再根据一次函数性质和二次函数性质解答；

【解析】
（1）设第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x+80=280，
解得x=10．
答：第10天生产的粽子数量为280只．
（2）由图象得，当0≤x＜10时，p=2；
当10≤x≤20时，设P=kx+b，
把点（10，2），（20，3）代入得，

解得
∴p=0.1x+1，
①0≤x≤6时，w=（4-2）×34x=68x，当x=6时，w最大=408（元）；
②6＜x≤10时，w=（4-2）×（20x+80）=40x+160，
∵x是整数，
∴当x=10时，w最大=560（元）；
③10＜x≤20时，w=（4-0.1x-1）×（20x+80）=-2x2+52x+240，
∵a=-2＜0，
∴当x=-=13时，w最大=578（元）；
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578．