Question

如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以线段为直径作⊙，交轴的正半轴于点，过、、三点作抛物线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连结，，点是延长线上一点，的角平分线交⊙于点，连结，在直线上找一点，使得的周长最小，并求出此时点的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）;（2）交点;（3）符合条件的点有两个：，.

【解析】

(1)因为BC是直径,所以∠BDC=90°,易证∽,由相似三角形的性质得：,解得OD的长,从而求出点D坐标.由，设交点式解析式,把点D坐标代入即可求出解析式.

（2）属于最短路径问题，要使的周长最小，因为CF的长是定值，所以只要满足PF+PC的值最小即可解答，作点F或者点C关于直线BD的对称点，正好CD⊥BD,延长至点，，则可得，连结交于点，再连结、，此时的周长最短，求出的解析式为，再与的解析式：联立，可得交点.

（3）本题要分两种情况进行讨论：
①过F作FG∥DC，交F点右侧的抛物线于G，此时两内错角∠GFC=∠DCF，可先用待定系数法求出直线DC的解析式，然后根据DC与FG平行，那么直线FG与直线DC的k值相同，因此可根据F的坐标求出FG的解析式，然后联立直线FG的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的值舍去即可得出符合条件的G点．
②解法同①，过D作DM∥FC，交圆于点M，连接FM并延长交抛物线于点G，此时两弧DF、MC相等，∠GFC=∠DCF.先求FC解析式，根据DM∥FC和D点坐标，求出DM解析式，从而就出M坐标，根据点F、M坐标求出直线MF解析式，与抛物线解析式联立求得.

综上所述可求出符合条件的P点的值．

（1）∵以为直径作⊙，交轴的正半轴于点，

∴

又∵

∴

又∵

∴∽

∴

又∵，

∴

解得（负值舍去）

∴

故抛物线解析式为

∴，解得

∴二次函数的解析式为，即.

（2）∵为⊙的直径，且，

∴，

∵点是延长线上一点，的角平分线交⊙于点

∴

连结，则，

，，可得

∵，

∴延长至点，使，

则可得

连结交于点，再连结、，

此时的周长最短，

解得的解析式为

的解析式为，可得交点

（3）符合条件的点有两个：，.

①如图过F作FG∥DC，交F点右侧的抛物线于G，此时两内错角∠GFC=∠DCF，

用待定系数法求出直线DC的解析式：y=-x+4 ，

∵DC与FG平行，那么直线FG与直线DC的K值相同，因此可根据F的坐标(3,5)∴求得FG的解析式:y=-x+ ，然后联立直线FG的解析式: :y=-x+，和抛物线的解析式.即可求出交点G坐标， 横坐标是时，不符合题意，舍去．
②如图过D作DM∥FC，交圆于点M，连接FM并延长交抛物线于点G，此时两弧DF、MC相等，∠GFC=∠DCF，

解法同①，先求FC解析式，根据DM∥FC和D点坐标，求出DM解析式，从而就出M坐标，根据点F、M坐标求出直线MF解析式，与抛物线解析式联立求得.