Question

在△ABC中，∠ABC＝45°，∠C＝60°，⊙O经过点A，B，与BC交于点D，连接AD．

（Ⅰ）如图①．若AB是⊙O的直径，交AC于点E，连接DE，求∠ADE的大小．

（Ⅱ）如图②，若⊙O与AC相切，求∠ADC的大小．

Answer

（Ⅰ）∠ADE＝15°；（Ⅱ）∠ADC＝75°

【解析】

（Ⅰ）连接BE，根据三角形内角和可求∠BAC的度数，由圆周角定理可得∠AEB＝90°，即可求∠ABE＝∠ADE＝15°；

（Ⅱ）连接OA，OD，由切线的性质可得∠OAC＝90°，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠AOD＝90°，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠DAC＝45°，根据三角形内角和可求∠ADC的度数．

【解析】
（Ⅰ）如图，连接BE

∵∠ABC＝45°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝75°，

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠ABE＝∠AEB﹣∠BAC＝15°，

∵∠ABE＝∠ADE，

∴∠ADE＝15°，

（Ⅱ）连接OA，OD，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OAC＝90°，

∵∠ABC＝45°

∴∠AOD＝90°，且OA＝OD

∴∠OAD＝45°

∴∠DAC＝∠OAC﹣∠DAO＝45°，且∠C＝60°

∴∠ADC＝75°