Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．

求抛物线的表达式；

在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer

（1）；（2）存在，满足条件的P点坐标为或或；（3）当时，有最大值，最大值为，此时E点坐标为．

【解析】

（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）可设出P点坐标，从而可表示出PC、PD的长，由条件可得PC=CD或PD=CD，可得到关于P点坐标的方程，可求得点P的坐标；

（3）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，可设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，进而表示出EF的长度，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形CDBF的面积，利用二次函数的性质，可求得其最大值及此时E点的坐标.

把，代入得，解得，

抛物线解析式为；

存在．

抛物线的对称轴为直线，

则，

，

如图1，当时，则；

当时，则，，

综上所述，满足条件的P点坐标为或或；

当时，，解得，，则，

设直线BC的解析式为，

把，代入得，解得，

直线BC的解析式为，

设，则，

，

，

而，

，

当时，有最大值，最大值为，此时E点坐标为．