Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB=2，∠AOB=60°，求BC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）2

【解析】

（1）证法一就根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”由OA=OB=OC=OD得AC=BD，所以四边形ABCD是矩形；证法二则是根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”由，得△ABD是以∠BAD为直角的直角三角形，得∠BAD=90°，根据矩形的定义知，四边形ABCD是矩形；

（2）由题意知OA=OB，∠AOB=60°知△AOB是等边三角形，易知AC=4，根据勾股定理，有AB2+BC2=AC2可求得BC=．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD

又∵OA=OB

∴OA=OB=OC=OD

∴AC=BD

∴四边形ABCD是矩形

证法二：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD

又∵OA=OB

∴△ABD是以∠BAD为直角的直角三角形，

∴∠BAD=90°

根据矩形的定义知，四边形ABCD是矩形．

（2）∵OA=OB，∠AOB=60°

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=AB=2

∴AC=2OA=4

∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，有AB2+BC2=AC2

∴BC2=AC2-AB2=42-22=16-4=12

∴BC=