Question

如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC=120°

（1）求证：△ABD∽△CAE；

（2）若BD=2，CE=8，求BC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）14.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到∠B=∠EAC，∠ADB=∠AEC，根据相似三角形的判定定理证明结论；

（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

（1）证明：∵∠BAC=120°，

∴∠BAD+∠EAC=60°，

∵△ADE是等边三角形，

∴∠ADE=∠AED=60°，

∴∠BAD+∠B=60°，∠ADB=∠AEC=120°，

∴∠B=∠EAC，又∠ADB=∠AEC，

∴ABD∽△CAE；

（2）【解析】
∵△ABD∽△CAE，

∴=，即AD2=BD•CE=16，

解得，AD=4，则DE=4，

∴BC=BD+DE+EC=14．