Question

定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ，则是“和谐分式”．

(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_____(填序号)；

①；②；③；④；

(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：＝_______(要写出变形过程)；

(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

Answer

（1）①③④ （2）a-1+ （3） x=-3

【解析】

（1）由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；

（2）由原式=可得；

（3）将原式变形为，据此得出x+1=±1或x+1=±2，即x=0或-2或1或-3，又x≠0、1、-1、-2，据此可得答案．

（1）①，是和谐分式；③，是和谐分式；④，是和谐分式；

故答案为：①③④；

（2） ，

故答案为：a-1、；

（3）原式=

∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数

此时x=0或﹣2或1或﹣3

又∵分式有意义时x≠0、1、﹣1、﹣2，

∴x=﹣3．