Question

已知：1+3=4=2²；1+3+5=9=3²；1+3+5+7=16=4²；1+3+5+7+9=25=5²，…，

根据前面各式的规律，以下等式（n为正整数），

①1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n²；

②1+3+5+7+9+…+（2n+3）=（n+3）²；

③1+3+5+7+9+…+2013=1007²； 

④101+…+2013=1007²-50²

其中正确的有______ 个．

Answer

3

【解析】

观察所给等式得到从1开始的连续的奇数的和等于奇数的个数的平方，则1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2，1+3+5+7+9+…+（2n+3）=（n+2）2，1+3+5+7+9+…+（2×50-1）=502，1+3+5+7+9+…+（2×1007-1）=10072，则可对①②③直接判断；通过求差可对④进行判断．

【解析】
1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2，所以①正确；

1+3+5+7+9+…+（2n+3）=（n+2）2，所以②错误

1+3+5+7+9+…+2013=1+3+5+7+9+…+（2×1007-1）=10072，所以③正确；

∵1+3+5+7+9+…+99=1+3+5+7+9+…+（2×50-1）=502，

∴101+…+2013=10072-502，所以④正确．

故答案为：3．