Question

如图，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．

【解析】

（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．

（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；

设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），

将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．

（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．

设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），

∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．

∵点C的坐标为（﹣2，3），

∴点Q的坐标为（﹣2，0），

∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，

∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．

∵﹣＜0，

∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）．

（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，

∴点N的坐标为（0，3）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．

∵点C的坐标为（﹣2，3），

∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．

令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．

∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，

∴MN＝CM，

∴AM+MN＝AM+MC＝AC，

∴此时△ANM周长取最小值．

当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，

∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．

∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），

∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，

∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．

∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．