Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D在边AC上，连接BD，过A作BD的垂线交BD的延长线于点E．

（1）若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MN⊥EC；

（2）如图2，过点C作CF⊥EC交BD于点F，求证：AE＝2BF；

（3）如图3，以AE为一边作一个角等于∠BAC，这个角的另一边与BE的延长线交于P点，O为BP的中点，连接OC，求证：OC＝（BE﹣PE）．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）连接EM、CM，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM＝CM；再由等腰三角形三线合一的性质得出结论；

（2）证明△AEC∽△BFC，得由AC＝2BC得AE＝2BF；

（3）证明△ACB∽△AEP，得从而知道AE＝2PE，由AE＝2BF得PE＝BF；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC＝EF，代入得结论．

证明：（1）如图1，连接EM、CM，

∵AE⊥BE，M是AB的中点，

∴EM＝AB，CM＝AB，

∴EM＝CM，

∵N是EC的中点，

∴MN⊥EC；

（2）如图2，∵∠ECF＝90°，∠ACB＝90°，

∴∠ECA+∠ACF＝90°，∠ACF+∠FCB＝90°，

∴∠ECA＝∠FCB，

∵∠CFB＝∠ECF+∠CEF＝90°+∠CEF，

∠AEC＝∠AEB+∠CEF＝90°+∠CEF，

∴∠CFB＝∠AEC，

∴△AEC∽△BFC，

∴

∵AC＝2BC，

∴AE＝2BF；

（3）如图3，过点C作CF⊥EC交BD于点F，

∵∠AEP＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠PAE，

∴△ACB∽△AEP，

∴

∵AC＝2BC，

∴AE＝2PE，

∵AE＝2BF，

∴PE＝BF，

∵O为BP的中点，

∴PO＝BO，

∴EO＝FO，

∴CO＝EF＝（BE﹣BF）＝（BE﹣PE）．