Question

如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，D为AB中点，如果点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动，设运动时间为t（s）．

（1）若点P与点Q的速度都是2cm/s，问经过多少时间△BPD与△CQP全等？说明理由；

（2）若点P的速度比点Q的速度都慢2cm/s，则经过多少时间△BPD与△CQP全等，并求出此时两点的速度；

（3）若点P、点Q分别以（2）中速度同时从B、C出发，都逆时针沿△ABC三边运动，问经过多少时间点P与点Q第一次相遇，相遇点在△ABC的哪条边上？并求出相遇点与点B的距离．

Answer

（1）经过3s△BPD与△CQP全等；（2）当运动时间为1s时，△BPD与△CPQ全等，此时点P的速度为8cm/s，点Q的速度为10cm/s；（3）第一次相遇在AB边上，此时相遇点与点B的距离8cm．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质可得出∠B＝∠C，由点P、Q同速同时出发可得出BP＝CQ，结合全等三角形的判定定理可得出当BD＝CP时△BPD与△CQP全等，进而即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设点P的速度为xcm/s，则点Q的速度为（x+2）cm/s，由BP≠CQ、∠B＝∠C结合全等三角形的性质可得出BD＝CQ、BP＝CP＝8，进而即可得出关于t、x的方程组，解之即可得出结论；

（3）根据路程＝速度×时间结合点P、Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之可求出t值，由点Q的路程＝点Q的速度×运动时间可求出点Q的路程，再结合CA、AB、BC的长度，即可找出点P、Q第一次相遇时的位置，此题得解．

【解析】
（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∵点P与点Q的速度都是2cm/s，

∴BP＝CQ，

∴当BD＝CP时，△BPD与△CQP全等，即10＝16﹣2t，

解得t＝3，

∴经过3s△BPD与△CQP全等．

（2）设点P的速度为xcm/s，则点Q的速度为（x+2）cm/s．

∵BP≠CQ，∠B＝∠C，

∴BD＝CQ，BP＝CP＝8，

∴ ，

解得：．

∴当运动时间为1s时，△BPD与△CPQ全等，此时点P的速度为8cm/s，点Q的速度为10cm/s．

（3）根据题意得：10t＝40+8t，

解得：t＝20，

∴Q的路程＝10×20＝200（cm），

∵200＝（20+20+16）×3+20+12，20﹣12＝8，

∴第一次相遇在AB边上，此时相遇点与点B的距离8cm．