Question

如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以BC为边在三角形外作正方形BCDE，连接BD，CE交于点O，则线段AO的最大值为_____．

Answer

【解析】

过O作OF⊥AO且使OF=AO，连接AF、CF，可知△AOF是等腰直角三角形，进而可得AF=AO，根据正方形的性质可得OB=OC，∠BOC=90°，由锐角互余的关系可得∠AOB=∠COF，进而可得△AOB≌△COF，即可证明AB=CF，当点A、C、F三点不共线时，根据三角形的三边关系可得AC+CF>AF，当点A、C、F三点共线时可得AC+CF=AC+AB=AF=7，即可得AF的最大值，由AF=AO即可得答案.

如图，过O作OF⊥AO且使OF=AO，连接AF、CF，

∴∠AOF=90°，△AOF是等腰直角三角形，

∴AF=AO，

∵四边形BCDE是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°，

∵∠BOC=∠AOF=90°，

∴∠AOB+∠AOC=∠COF+∠AOC，

∴∠AOB=∠COF，

又∵OB=OC，AO=OF，

∴△AOB≌△COF，

∴CF=AB=4，

当点A、C、F三点不共线时，AC+CF>AF，

当点A、C、F三点共线时，AC+CF=AC+AB=AF=7，

∴AF≤AC+CF=7，

∴AF的最大值是7，

∴AF=AO=7，

∴AO=.

故答案为：