Question

如图所示，⊙O中，弦AC、BD交于E，．

（1）求证：；

（2）延长EB到F，使EF＝CF，试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）CF与⊙O相切，理由详见解析.

【解析】

（1）连接BC，由=2，得=，则∠ABD=∠ACB，得到△ABE∽△ABC，所以AB2＝AE⋅AC；
（2）连接AO、CO，由A为中点，得到AO⊥DB，得到∠OAC+∠AED=90°，所以∠OAC+∠FEC=90°，而EF=CF，则∠FEC=∠ECF，又∠OAC=∠OCA，所以∠OAC+∠FEC=∠OCA+∠ECF=90°，即得到CF与⊙O相切．

证明：（1）连接BC，如图，

∵=2.

∴=.

∴∠ABD＝∠ACB，

而∠CAB公用，

∴△ABE∽△ABC，

∴

∴

（2）CF与⊙O相切．理由如下：

连接AO、CO，

∵A为中点，

∴AO⊥DB，

∴∠OAC+∠AED＝90°

∵∠AED＝∠FEC，

∴∠OAC+∠FEC＝90°，

又∵EF＝CF，

∴∠FEC＝∠ECF，

∵AO＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠OAC+∠FEC＝∠OCA+∠ECF＝90°，

∴FC与⊙O相切．