Question

王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是　   　，或　   　．

请回答：

（1）王华补充的条件是　   　，或　   　．

（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：

如图2，在△ABC中，∠A＝30°，AC²＝AB²+AB•BC．求∠C的度数．

Answer

∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（1）∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=AP•AB；理由见解析；（2）50°．

【解析】

试题（1）由∠A=∠A，当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或时，△ACP∽△ABC；

（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，由已知条件得出证出，由∠A=∠A，证出△ACB∽△ADC，得出对应角相等∠ACB=∠D，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，得出∠ACB=50°即可．

试题解析：∵∠A=∠A，

∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；

或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；

（1）王华补充的条件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=AP•AB；理由如下：

∵∠A=∠A，

∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；

或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；

（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：

∵AC2=AB2+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，

∴，

又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，

∴∠ACB=∠D，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠D，

在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，

∴3∠ACB+30°=180°，

∴∠ACB=50°．