Question

如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC、∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC，其中正确的结论有______ （填序号）

Answer

①②③⑤

【解析】

根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．

∵AD平分∠EAC，

∴∠EAC=2∠EAD，

∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，∴①正确；

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，

∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；

∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，

∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ACF，

∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，

∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠ACD）

=180°-（∠EAC+∠ACF）

=180°-（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）

=180°-（180°-∠ABC）

=90°-∠ABC，∴③正确；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，

∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；

∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，

∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤正确；

即正确的有①②③⑤，

故答案为：①②③⑤.