Question

如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝的图象上．

（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式；

（3）将线段AB沿直线y＝kx+b进行对折得到线段A₁B₁，且点A₁始终在直线OA上，当线段A₁B₁与x轴有交点时，则b的取值范围为　   　（直接写出答案）

Answer

（1）m=3，k=12；（2）yx+2或yx﹣2；（3）．

【解析】

（1）由题可得m（m+1）=（m+3）（m﹣1）=k，解这个方程就可求出m、k的值．

（2）由于点A、点B是定点，可对线段AB进行分类讨论：AB是平行四边形的边、AB是平行四边形的对角线，再利用平行四边形的性质、中点坐标公式及直线的相关知识就可解决问题．

（3）由于点A关于直线y=kx+b的对称点点A1始终在直线OA上，因此直线y=kx+b必与直线OA垂直，只需考虑两个临界位置（A1在x轴上、B1在x轴上）对应的b的值，就可以求出b的取值范围．

（1）∵点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y的图象上，∴m（m+1）=（m+3）（m﹣1）=k．

解得：m=3，k=12，∴m、k的值分别为3、12．

（2）设点M的坐标为（m，0），点N的坐标为（O，n）．

①若AB为平行四边形的一边．

Ⅰ．点M在x轴的正半轴，点N在y轴的正半轴，连接BN、AM交于点E，连接AN、BM，如图1．

∵四边形ABMN是平行四边形，∴AE=ME，NE=BE．

∵A（3，4）、B（6，2）、M（m，0）、N（0，n），∴由中点坐标公式可得：

xE，yE，∴m=3，n=2，∴M（3，0）、N（0，2）．

设直线MN的解析式为y=kx+b．

则有

解得：，∴直线MN的解析式为yx+2．

Ⅱ．点M在x轴的负半轴，点N在y轴的负半轴，连接BM、AN交于点E，连接AM、BN，如图2，同理可得：直线MN的解析式为yx﹣2．

②若AB为平行四边形的一条对角线，连接AN、BM，设AB与MN交于点F，如图3．

同理可得：直线MN的解析式为yx+6，此时点A、B都在直线MN上，故舍去．

综上所述：直线MN的解析式为yx+2或yx﹣2．

（3）①当点B1落到x轴上时，如图4．

设直线OA的解析式为y=ax．

∵点A的坐标为（3，4），∴3a=4，即a，∴直线OA的解析式为yx．

∵点A1始终在直线OA上，∴直线y=kx+b与直线OA垂直，∴k=﹣1，∴k．

由于BB1∥OA，因此直线BB1可设为yx+c．

∵点B的坐标为（6，2），∴6+c=2，即c=﹣6，∴直线BB1解析式为yx﹣6．

当y=0时，x﹣6=0．则有x，∴点B1的坐标为（，0）．

∵点C是BB1的中点，∴点C的坐标为（）即（，1）．

∵点C在直线yx+b上，∴b=1．

解得：b．

②当点A1落到x轴上时，如图5．

此时，点A1与点O重合．

∵点D是AA1的中点，A（3，4），A1（0，0），∴D（，2）．

∵点D在直线yx+b上，∴b=2．

解得：b．

综上所述：当线段A1B1与x轴有交点时，则b的取值范围为．

故答案为：．