Question

如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为AB延长线上一点，连接CD，∠AMC＝90°，AM交BC于点N，∠APB＝90°，AP交CD于点Q．

（1）求证：AN＝CQ；

（2）如图，点E在BA的延长线上，且AD＝BE，连接EN并延长交CD于点F，求证：DQ＝EN；

（3）在（2）的条件下，当3AE＝2AB时，请直接写出EN：FN的值为　   　．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）25：3．

【解析】

（1）利用ASA证明△APN≌△CPQ，可得AN＝CQ；

（2）如图2，连接BQ，证明△DBQ≌△EAN（SAS），可得DQ＝EN；

（3）设AE＝2x，AB＝3x，则BD＝2x，DC＝x，作辅助线，构建直角三角形和相似三角形，证明△AHE∽△AMD和△DQA∽△ANC，得，设AH＝8m，AM＝20m，AN＝17m，再证明△EHN∽△FMN，可得结论．

【解析】
（1）证明：∵∠APB＝90°

∴∠APN＝∠CPQ＝90°，

∴∠PNA+∠NAP＝∠NAP+∠CQP＝90°，

∴∠PNA＝∠CQP，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴AP＝PC，

∴△APN≌△CPQ（ASA），

∴AN＝CQ；

（2）证明：如图2，连接BQ，

由（1）知：AP是BC的垂直平分线，

∴BQ＝CQ，

∵AN＝CQ，

∴AN＝BQ，

∵BQ＝CQ，

∴∠QBC＝∠QCB＝∠NAP，

∵∠PBA＝∠PAB＝45°，

∴∠QBA＝∠BAN，

∴∠DBQ＝∠NAE，

∵BD＝AE，

∴△DBQ≌△EAN（SAS），

∴DQ＝EN；

（3）∵3AE＝2AB，

∴设AE＝2x，AB＝3x，则BD＝2x，DC＝x，

如图3，过E作EH⊥AM，交MA的延长线于H，

∴∠H＝∠AMD＝90°，

∴EH∥DC，

∴∠HEA＝∠CDA，

∴△AHE∽△AMD，

∴，

∵∠MAC＝∠CDA，∠ACN＝∠DAQ＝45°，

∴△DQA∽△ANC，

∴，

由（2）知：CQ＝AN，

∴，

∴AN＝CQ＝，

S△ADC＝，

，

AM＝，

∴，

∴设AH＝8m，AM＝20m，AN＝17m，

则MN＝3m，

∵EH∥FM，

∴△EHN∽△FMN，

∴．

故答案为：25：3．