Question

如图，A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点在抛物线y＝ax²+bx+c上，D为直线BC上方抛物线上一动点，E在CB上，∠DEC＝90°

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段DE长度的最大值；

（3）如图2，F为AB的中点，连接CF，CD，当△CDE中有一个角与∠CFO相等时，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝；（2）；（3）或.

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案.

【解析】
（1）由题意，得，

解得，

抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；

（2）设直线BC的解析是为y＝kx+b，，

解得，

∴y＝﹣x+3，

设D（a，﹣a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，

如图1，

M（a，﹣a+3），

DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，

∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，

∴△DEM∽△BOC，

∴，

∵OB＝4，OC＝3，

∴BC＝5，

∴DE＝DM

∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，

当a＝2时，DE取最大值，最大值是，

（3）假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，

∵点F为AB的中点，

∴OF＝，tan∠CFO＝＝2，

过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，

如图2

，

①若∠DCE＝∠CFO，

∴tan∠DCE＝＝2，

∴BG＝10，

∵△GBH∽BCO，

∴，

∴GH＝8，BH＝6，

∴G（10，8），

设直线CG的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直线CG的解析式为y＝x+3，

∴，

解得x＝，或x＝0（舍）．

②若∠CDE＝∠CFO，

同理可得BG＝，GH＝2，BH＝，

∴G（，2），

同理可得，直线CG的解析是为y＝﹣x+3，

∴，

解得x＝或x＝0（舍），

综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．