Question

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．

（1）求线段AD的长度；

（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．

Answer

（1）AD=；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；理由见解析.

【解析】

（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．（2）当ED与 O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．

（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；

连接CD，∵BC为直径，

∴∠ADC=∠BDC=90°；

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB；

∴，∴；

（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；

证明：连接OD，

∵DE是Rt△ADC的中线；

∴ED=EC，

∴∠EDC=∠ECD；

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD；

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；

∴ED⊥OD，

∴ED与⊙O相切．