Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，

（1）图1中共有　   　对相似三角形，写出来分别为　   　（不需证明）；

（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；

（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）3对，分别是：△ABC∽△ACD， △ABC∽△CBD ， △ACD∽△CBD；（2）4.8；（3）存在，（1.35，3）或（3.15，1.8）．

【解析】

试题（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；

（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到AB•CD=AC•BC，即可求出CD的长；

（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．

试题解析：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．

故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；

（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC==6．

∵△ABC的面积=AB•CD=AC•BC，∴CD==4.8；

（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，∴OB==3.6．

分两种情况：①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，

∴，∴，解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，

∴OQ=OB﹣BQ=3.6﹣2.25=1.35，BP=BC﹣CP=6﹣2.25=3.75．

在△BPQ中，由勾股定理，得PQ==，∴点P的坐标为（1.35，3）；

②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴，∴，

解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC﹣CP=6﹣3.75=2.25．

过点P作PE⊥x轴于点E．

∵△QPB∽△ACB，∴，∴，∴PE=1.8．

在△BPE中，BE==，∴OE=OB﹣BE=3.6﹣0.45=3.15，

∴点P的坐标为（3.15，1.8）；

综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（3.15，1.8）．