Question

如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．

（1）直接写出∠DPC的度数．

（2）如图②，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当PC与PB重合时，求旋转的时间是多少？

（3）在（2）的条件下，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋转的时间．

Answer

（1）90°；（2）旋转的时间是30秒时PC与PB重合；（3）15秒或26.25秒或37.5秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角．

【解析】

（1）易得∠DPC=180°-∠APC-∠BPD即可求

（2）只需设旋转的时间是t秒时PC与PB重合，列方程解可得

（3）一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况：当PD平分∠BPC时；当PC平分∠BPC时；当PB平分∠DPC时，计算每种情况对应的时间即可．

【解析】

（1）∠DPC=180°-∠APC-∠BPD=180°-60°-30°=90°

故答案为：90°

（2）设旋转的时间是t秒时PC与PB重合，根据题意列方程得

5t-t=30+90

解得t=30

又∵180÷5=36秒

∴30＜36

故旋转的时间是30秒时PC与PB重合．

（3）设t秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况：

①当PD平分∠BPC时，5t-t=90-30，解得t=15

②当PC平分∠BPC时，，解得t=26.25

③当PB平分∠DPC时，5t-t=90-2×30，解得t=37.5

故15秒或26.25秒或37.5秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角．