Question

如图,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板 (∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方,将如图中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周。

(1)几秒后ON与OC重合?

(2)如图，经过t秒后，MN∥AB，求此时t的值。

(3)若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合?请画图并说明理由。

（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由。

Answer

（1）10秒后ON与OC重合；（2）经过t=20秒后，MN∥AB；（3）t=20秒，见解析；（4）t=秒，见解析.

【解析】

（1）用角的度数除以转动速度即可得；

（2）根据MN∥AB，可得∠BOM＝∠M＝30∘，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；

（3）根据OC与OM重合得∠BOC=∠BOM，结合旋转速度可得∠AON=3t,∠AOC=30∘+6t，根据邻补角的定义列式计算求出t的值即可；

（4）根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可．

【解析】
(1)∵30÷3=10，

∴10秒后ON与OC重合；

(2) ∵MN∥AB

∴∠BOM＝∠M＝30°

∵∠AON +∠BOM=90°，

∴∠AON＝60°，

∴t=60÷3=20

∴经过20秒后，MN∥AB；

（3）如图：

∵∠AON+∠BOM=90∘，∠BOC=∠BOM，

∵三角板绕点O以每秒3°的速度,

射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

设∠AON=3t,∠AOC=30°+6t，

∵OC与OM重合

∵∠AOC+∠BOC=180°

可得：（30°+6t）+（90°−3t）＝180°

解得：t=20秒 ；

(4)如图：

∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，

∵三角板绕点O以每秒3°的速度,

射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

设∠AON=3t,∠AOC=30°+6t，

∴∠BOC=∠COM=(90°−3t)，

∵∠BOM+∠AON=90°，

可得：180°−(30°+6t)=(90°−3t)，

解得：t=秒.

故答案为：（1）10秒后ON与OC重合；（2）经过t=20秒后，MN∥AB；（3）t=20秒，见解析；（4）t=秒，见解析.