Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝9O°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB交于H、E两点，且AH＝2CH，若AB＝2，则BE的值为_____．

Answer

3

【解析】

根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，再由AB=2，得AC＝2，则CE＝1，从而得出BE．

【解析】
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，

∴CD＝BD，

∴∠B＝∠BCD，

∵AE⊥CD，

∴∠CAH+∠ACH＝90°，

又∠ACB＝90°

∴∠BCD+∠ACH＝90°

∴∠CAH＝∠BCD＝∠B，即∠B＝∠CAH，

∵AH＝2CH，

∴由勾股定理得AC＝CH，

∴CH：AC＝1：，

∴sinB＝．

∴AC：AB＝1：，

∵AB＝2，

∴AC＝2．

∵∠CAH＝∠B，

∴sin∠CAH＝sinB＝＝，

设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，

∴CE＝x＝1，

在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，

∵AB＝2，AC＝2，

∴BC＝4，

∴BE＝BC﹣CE＝3．

故答案为：3．