Question

如图，抛物线y＝ax²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求线段DE长度的最大值．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+3；（2）最大值是．

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．

【解析】
（1）由题意得，，

解得，，

抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；

（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，

由勾股定理得，BC＝＝5，

设直线BC的解析是为y＝kx+b，

则，

解得，

∴直线BC的解析是为y＝﹣x+3，

设点M的坐标为（a，﹣a+3），

DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，

∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，

∴△DEM∽△BOC，

∴，即＝，

解得，DE＝DM

∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，

当a＝2时，DE取最大值，最大值是．