Question

如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB延长线于点G，连结AD．

（1）∠ADB＝　   　°，依据是　   　；

（2）求证：DF是圆O的切线；

（3）已知BC＝4，CF＝2，求AE和BG的长．

Answer

（1）90，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；（2）见解析；（3）AE＝6，BG＝．

【解析】

（1）根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角可得结论；

（2）连接OD，由（1）知AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD＝CD，再根据OA＝OB知OD∥AC，从而由DF⊥AC可得OD⊥DF，即可得证；

（3）连接BE．BE∥DF，可得DF是△BEC的中位线，设AE＝x，则AC＝AB＝x+4，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△GOD∽△GAF，列比例式可得BG的长．

【解析】
（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

故答案为：90，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；

（2）连接OD，

∵∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是圆O的切线；

（3）连接BE．

∵CD＝BC＝2，

∵CF＝2，

∴DF＝＝＝4，

∵AB是直径，

∴∠AEB＝∠CEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF∥BE，

∴EF＝FC＝2，

∴BE＝2DF＝8，

设AE＝x，则AC＝AB＝x+4

由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，

（x+4）2＝82+x2，

x＝6，

∴AE＝6，AB＝4+6＝10，

∵OD∥AF，

∴△GOD∽△GAF，

∴，

∴，BG＝．