Question

阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点B作射线BE，点D为射线BE上的点，连接AD、CD，且∠BDC＝∠BAC，求证：AD平分∠CDE．小明认真观察图形，又发现一对相等的角，利用相等的一对角和一对边，过点A作双垂直，构造全等三角形，如图2，从而将问题解决．

（1）根据阅读材料，证明AD平分∠CDE；

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF（点C的对应点为点F），连接BE、FC，延长FC交B于点M．

①找出图中与∠BCM相等的角，并加以证明；

②猜想线段CF与BM之间的数量关系（用含α的式子表示），并证明你的猜想．

Answer

（1）见解析；（2）①∠BCM＝∠EFM，理由见解析；②猜想：FC＝2BM•cosα，理由见解析。

【解析】

（1）如图2中，作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N．利用全等三角形的性质证明AM＝AN即可．

（2）①结论：∠BCM＝∠EFM．利用等角的余角相等证明即可；②猜想：FC＝2BM•cosα．如图3中，连接AM，设AE交FM于点O．首先证明AM⊥BE，再利用相似三角形的性质即可证明．

（1）证明：如图2中，作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N．

∵∠BDF＝∠CAF，∠DFB＝∠AFC，

∴∠DBF＝∠ACF，

∵∠AMB＝∠ANC＝90°，∠ABM＝∠ACN，AB＝AC，

∴△ABM≌△ACN（AAS），

∴AM＝AN，∵AM⊥DM，AN⊥DN，

∴AD平分∠CDE．

（2）【解析】
①结论：∠BCM＝∠EFM．

理由：如图3中，∵AC＝AF，

∴∠ACF＝∠AFC，

∵∠ACB＝∠AFE＝90°，

∴∠ACF+∠BCM＝90°，∠AFC+∠MFE＝90°，

∴∠BCM＝∠EFM．

③猜想：FC＝2BM•cosα．

理由：如图3中，连接AM，设AE交FM于点O．

∵∠CAB＝∠EAF＝α，

∴∠BAE＝∠CAF，

∵AC＝AF，AE＝AB，

∴∠AFC＝∠ACF＝∠AEB＝∠ABE，

∵∠AOF＝∠MOE，

∴△AOF∽△MOE，

∴，

∴，∵∠EOF＝∠AOM，

∴△EOF∽△MOA，

∴∠OAM＝∠EFO，

∵∠OFO＝∠∠OEM，∠OFA+∠EFO＝90°，

∴∠OAM+∠OEM＝90°，

∴∠AME＝90°，

∵AE＝AB，

∴BM＝BE，

∵△FAC∽△EAB，

∴＝cosα，

∴＝cosα，

∴FC＝2BM•cosα．