Question

如图，抛物线y＝ax²+2ax﹣3a（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．

（1）填空：抛物线的对称轴为　   　，点A的坐标为　   　；点B的坐标为　   　；

（2）若△ADC的面积为3，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，当m≤x≤m+1，y的取值范围是﹣4≤y≤2m，求m的值．

Answer

（1）x＝﹣1，（﹣3，0），（1，0）；（2）y＝x2+2x﹣3；（3）m的值为：﹣2或﹣或﹣1或0．

【解析】

（1）令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3a，即可求解；

（2）利用S△ADC＝ED×OA＝×2a×3＝3，即可求解；

（3）分①m+1≤﹣1②m+1＞﹣1且m＜﹣1③m≥﹣1，三种情况分别求解即可．

【解析】
（1）令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3a，

故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3a），

函数对称轴为x＝﹣1，点D的坐标为（﹣1，﹣4a），

故：答案为：x＝﹣1，（﹣3，0），（1，0）；

（2）过点D作函数对称轴交直线AC于点E，

点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，﹣3a），则直线AC的表达式为：y＝kx﹣3a，

将点A坐标代入上式并解得：k＝﹣ax﹣3a，点E（﹣1，﹣2a），

S△ADC＝ED×OA＝×2a×3＝3，解得：a＝1，

故抛物线表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（3）①当m+1≤﹣1时，即：m≤﹣2，

函数在x＝m+1处取得最小值，即：（m+1）2+2（m+1）﹣3＝﹣4，解得：m＝﹣2，

函数在x＝m处取得最大值，m2+2m﹣3＝2m，解得：m＝（舍去），

故：m＝﹣2；

②当m+1＞﹣1，且m＜﹣1，即：﹣2＜m＜﹣1时，

同理可得：m＝；

③当m≥﹣1时，

同理可得：m＝﹣1或0；

故：m的值为：﹣2或﹣或﹣1或0．