Question

如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结，过点作，垂足为.

（1）求证：；

（2）求证：为的切线；

（3）若的半径为5，，求的长.

Answer

(1)见解析 ；（2）见解析；(3)DE =

【解析】

（1）根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线，故可得AB=AC；
（2）连接OD，由平行线的性质，易得OD⊥DE，且DE过圆周上一点D故DE为的切线；
（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得AB=BC=10，借助三角函数的定义，求得AD=8, 由勾股定理得BC=6，根据DE=CD·sinC可得答案．

证明：(1)：连接AD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°

又BD=CD

∴AD是BC的垂直平分线

∴AB=AC

(2)连接OD

∵点O、D分别是AB、BC的中点

∴OD∥AC

又DE⊥AC

∴OD⊥DE

∴DE为⊙O的切线

(3)由AB=AC,

∵⊙O的半径为5

∴AB=BC=10, AD=8,由勾股定理BC=6

在Rt△CDE中，∠C=∠B

∴DE=CD·sinC=